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CAp ítu lo
4. Ecuaciones
DiferenCÍales Lineales
de
Segundo Orden
Obscrv(' qur la definición 4.7. 1 es
eqniv¡:¡!cll t,(·>
a drci r que la
fUll ción
f
es solución de
la ec nac ión d iferencial
P(D)y
=
(l.
Al operador diferencial del tipo (4. 52 ) con
a"
=
1 (mónico)
y
de
menor orden posible
qne a nnla
iI
f
le llaman'mos el op erador anulad or de
f.
Los signientes result.ados nos dicen como encontrar el operador anulador para algunas
flll1 (' iol1(':;
y
cst <:í ll
basados
f'1l nuestros cOlloc imientos
sobre las soluciones de las
ecua.ciones
<lif0l"l'l1("ialrs
COlI corfi cirll!'es COl lstantes.
Proposición
4 .7 .1
El
opFmdo7'
d~fF7'encial
D"
anula a cada una de las funciones
Alás q('II(''/'{drnente. la
fu.ll cló" polinomial f(x)
=
ae1'"
+
ak_ ¡.1'k- ¡
+ ... +
a¡T
+
ao es
amdada pOl' el operador
D"
ron n
?
k
+
l .
EJEMPLO
2. Encuentre el operador anulador
P¡ (D)
de la función dada.
a)
f(./)
= "..'
b )
f(.r)
=
¡ ' -
2.1'
+
1
c) /(./)
=
,r'¡(l
+
2.1' -
3r
2 )
Soluc ión.
a )
p¡ (D )
=
D'¡
b)
P¡(D)
=
DO.
e) P¡(D )
=
D?
Prop osición
4 .7 .2
El operado'r diferencial
(D -
a)k anula a cada una de las funciones
EJEMPLO
3 . Ha llar el operador anulador
p¡
(D)
de la función ind icada.
a)
f(x)
=
e
7T
b)
f(x)
=
3e-
1 ."
+
2.ce-
4x
e)
h(.1' )
=
e
2x
+
5xe-
3T
d)
.r¡(.7')
=
X
-
7xé
x
e)
f(.l)
=
(2 -
e
x
)2
Solución.
a) Tomando a
=
7,
k
=
1 en la proposición 4.7.2, tenemos que
P¡(D )
=
D
-
7.
b) Ahora, o'
=
-4 Y
k
=
2 de modo que
P¡(D )
=
(D
+
4)2
e) Se tiene que
(D
-
2)e 2x
=
O
y
(D
+
3)25xe - 3x
=
O. Entonces el producto
P¡(D )
=
(D
-
2) (D
+
3)2
es
el
anulador de
h.
En efecto
P¡( D)h(x)
(D -
2)(D
+
3)2(e 2x
+
5xe - 3x )
(D
+
3) 2( D
-
2)e 2x
+
5(D
-
2)( D
+
3)2 xe - 3x
(D
+
3)2(0)
+
5(D
-
2)( D
-
2)(0)
O
