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4.7. Método
de
Coefici entes Indeterminados: Operador Anulador
161
d ) Para esta función aplicamos las proposiciones 4.7.1 y 4.7. 2. En primer lugar
D
2
x
=
O
Y
por otra parte
(D
-
6)27xe
6 '
=
O.
Por lo tanto
P, (D )
=
D 2 (D
-
6)2
e) La función
f
dada no es de los tipos mencionados en las propos iciolles anteriores.
Sin embargo,
f (x)
=
4 -
4e'
+
e 2,
y ya que
D4
=
O,
(D
-
1)4e'
=
O,
(D
-
2)e 2•
=
O
concluimos que
P,( D)
=
D(D
-
I )(D
-
2).
.
Proposición 4.7.3
El operador diferencial ID 2
-
20:D
+
(0: 2
+
¡J2)[k
anula a cada una
de las f unciones
e
ax
cos {3x ,
xe
ox
cos f3x, x
2
e
Qx
cos (3x,
.. ' )
xk-1e OX cosf3x,
eoxsen
{Jx,
xeQXsen
f3x, x
2
e
Ctx
sen
f3x,
" " 1
xk-1eQXsen (Jx.
En particular, si en la proposición 4.7.3, consideramos
o:
=
O
y
k
=
1, se sigue que
(D
2
+
¡J2) cos ¡Jx
=
O,
(D
2
+
¡J2)sen ¡Jx
=
O.
Ejemplo 4 . Obtenga el operador anulador
P,(D)
de la función dada
a )
f (x)
=
2e'cos 3x-
e'sen3x
b)
g(.c)
=
2e'
cos
3x
+
xe'
cos
3x
-
e'sen
3x
e)
h(x)
=
4
+
3x
-
5 cos 2x
d )
f (x)
=
8x 3
-
sen x
+
10 cos
5x
e)
g( :r)
=
1: 2
e-'sen x -
6e 2'cos 3x
Solución.
a)
En
la
proposición 4.7 .3 usamos los valores de
o:
=
1, ¡J
=
3 y
k
=
1 para encont rar
P,(D)
=
D'
-
2D +
10
h) I¡(ual
<¡ti('
en el inciso anterior ,
o:
=
1 Y ¡J
=
3, pero ahora
k
=
2. Entonces
P,(D )
=
(D' -
2D
+
10)' .
e)
Aplicando la proposición 4.7.1 se tiene que
D2(4
+
3x)
=
O.
Mient ras que, de la
proposición 4.7.3 con
o:
=
OY ¡J
=
2, se sigue que
(D
2
+
4)(5cos2x)
=
O. Por lo tanto
P,(D )
=
D' (D'
+
4) .
el)
Dc
las proposiciones 4.7. 1 y 4.7.3 tenemos que
D' (8x 3 )
=
O,
(D 2
+
1) sen
x
=
O,
(D 2
+
25) 10 cos
5x
=
O
Por
consiguiente
P,(D)
=
D
4
(D 2
+
1)(D 2
+
25).
e)
Aplirflmos la proposición 4.7.3 primero on
o:
=
- 1, ¡J
=
1
Y
k
=
3 y luego con
n
=
2,
¡i
=
3 y
k
=
1, para obtener
(D 2
+
2D
+
2)\x 2e-'sen x)
=
O
(D
2
-
4D
+
13)(6e 2'
cos
3x)
O,
de nmncm <¡ue
el
operador anulador en este caso viene dado por
P,(D )
=
(D 2
+
2D
+
2)3(D 2
-
4D
+
13) .
