Página 169 - Coordinación de Servicios de Información

4.7. Método de Coefici entes Indeterminados: Operador Anulador 167
, 3 1 1 1 ,
As, que A = --, B = -- , e = --, E = - y la SOIUClOll general de (465) es
100 10 49 14
-5x 2x 3 1 ( 1 2 1 ) 2x
y = c,e + C2 e - 100 - lO x + 14 x - 49 x e .
EJEMPLO 5. Resuelve
y" - 2y' + 5y = eX cos 2x + eX sen 2x. (4 .68)
Solución. La ecuación característ ica de la ecuación diferencial homogénea asociada es
r 2 - 2r + 5 = Oy sus raíces son 1 ± 2i, de modo que
Yc( x ) = eX (c, cos 2x + C2sen 2x).
Nótese entonces que el operador anulador del lado derecho es precisamente P,( D )
D 2 - 2D + 5. En consecuencia
(D2 - 2D + 5)(D 2 - 2D + 5)y = O
o bien
(D2 - 2D + 5fy = O.
Las raíces de la ecuación característica de esta última ecuación diferencial homogénea
son 1 ± 2i , de multiplicidad dos . De ésto deducimos que
y = eX( k, c(;s 2x + k 2sen 2x) + xe X(k 3 cos 2x + k,sen 2x).
Sustituyendo
YP = xeX(A cos 2x + Bsen 2x)
en (4.68) y simplificando obtenemos
e X(4B cos 2x - 4Asen 2x) = eX cos 2x + eXscn 2x.
Igualando coeficientes resultan las ecuaciones
- 4A = 1,
4B 1,
de donde se sigue que A = - ~ y B = ~ . Por lo tanto la solución general de (4.68) es
x
y = eX(c,cos 2x +c2sen2x) + ¡e X(sen2x - cos2x).
EJEMPLO 6. Resuelve
y" + 2y' + Y = - 3e- x + 8xe- x + 1. (4.69 )