168
Capítulo
4. Ecuaciones
Diferenciales Lineales
de
Segundo Orden
Solución.
Escribimos la ecuación diferencial (4.69) en la forma
(4. 70)
Luego
y, (x)
=
(e,
+
e2x)e-x.
Se tiene que
(D+
1)2(
- 3e- x +8xe-
X
)
=
Oy
D(I )
=
O. Por consiguiente
P, (D)
=
D(D+1)2
es el operador anu lador de la función
g(x)
=
-3e- x
+
8xe- x
+
1.
Aplicamos
P,(D)
a
(4.70) para obtener.
D(D
+
1)'y
=
O.
(4.71)
La ecuación característica de (4. 71 ) es
r(r
+
1)'
=
Oy sus raíces son Oy -1 de multipli–
cidades uno y cuatro, respectivamente. Por consiguiente
ASÍ , una solución particular de (4.69) tiene la forma
Sustituyendo
YP
en (4.69), resulta
A
+
2Be- x
+
6Cxe- x
=
-3e- x
+
8xe- x
+
1,
de donde
A
=
1,
B
=
-~
y C
=
~,
de modo que la solución general de (4.69) es
EJEMPLO
7. Resuelve
y"
+
4y
=
3x
cos
2x
+
sen
2x .
(4.72)
Solución.
La ecuación (4.72) puede escribirse como
(D 2 + 4)y
=
3xcos 2x
+
sen2x.
(4.73)
Es claro que
y,(x)
=
e,eos2x
+
e2sen
2x .
Además
P, (D)
=
(D2+4)2
es el operador anulador de la función
g(x)
=
3x
cos
2x+
sen
2x.
Aplicamos
P,(D)
a (4.73) para obtener
(4. 74 )
1...,160,161,162,163,164,165,166,167,168,169 171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,...252