4.7. lvlétodo
de
Coeficientes Indeterminados:
Operador
Anulador
165
EJEMPLO
3. Resuelve
y"
-
2y'
+
3y
=
e
- x
cos
x.
(4.62 )
Solución. Podemos escribir (4.62 ) como
(D' -
2D
+
3)y
=
e-x
cos
x.
(4.63)
La ecuación característ ica de la ecuación d iferencial homogénea asociada
es
1'1 _
21' + 3
=
O.
cuyas raíces son 1
±
J2i.
Luego
Yc(x)
=
eX(cl
cos
J2x
+
c,sen
J2x).
El operador anulador de la función en el lado derecho de (4.62 ) es
P,( D )
=
D'
+ 2D + 2.
Aplicando
P
l
(D)
a (4.63) obtenemos
(D'
+
2D
+
2)(D'
-
2D
+
3)y
=
O.
(4.64 )
La ecuación característica de (4.64) es
(1'1
+
21'
+
2)('1"
- 21'
+
3)
=
O \'
las raíces son
1
±
J2i ,
- 1
±
i
de multiplicidad uno, por lo cual
Luego
YP
=
e- X( A coS2'+
Bscnx).
Tenemos que
Y~
-e-X( A cosx
+
B sen .,,)
+
e-·'(- Asen .[
+
Bcos.r),
Y~
e- X(- 2B cosx
+
2Asen .1:).
Sustituyendo estas expresiones en (4.G2 )
y
simplificando, result"
e-
X
[( 5A
-
4B)
cos
x
+
(4A
+
5B )sen.r]
=
e-x
cos.1'.
Comparando coeficientes, se obt iene el sistema de ecuaciones
5A-4B
1,
4A
+
5B
=
O,
5
4
de donde
A
=
41 ' B
= -
41
Y
en consecuenCla
( •
X(
5
4
YP X)
= ,,-
-cosx
-
-senx).
41
41
1...,157,158,159,160,161,162,163,164,165,166 168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,...252