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Ca pit ulo
4.
Ecuaciones Diferenciales Linea les
de Segundo
Orden
EJEMPLO
2. Resolver
y"
-
2y'
-
8y
=
16e
2x
-
21e-
3x .
(4.59)
So lución . La ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea asociada a
(4.59)
es
r
2
-
2r
-
8
=
(r
-
4)(,·
+
2)
=
O, así que
Note que la ecuación diferencial (4. 59 ) puede escribirse como
(D -
4)(D
+
2)y
=
16e
2
< -
21e-
3
'.
El operador anulador de la fun ción
q(.t)
=
16e
2x
-
21e-
3x
es
F¡(D)
=
(D -
2)(D
+
3)
y al aplicar lo a ambos miembros de (4.60 ) resulta
(D -
2)(D
+
3)(D
-
4)(D
+
2)y
=
O
La ecuación característica de (4.61 ) es
(r
-
2)(r
+
3)(r
-
4)(r
+
2)
=
O
Por consiguiente
y
=
k¡e
2x
+
k
2
e -
3x
+
k
3
e
4x
+
k
4
e-
h
P roponernos una solución particular de la forma
Sustituyendo
YP'
y~, y~
en (4.59)
y
simplifi cando, obtenemos
_8A e
2x
+
7
B e-
3x
=
16e
2x
-
21e-
3x .
Igualando coeficientes, se sigue que
-8A
16,
7B
=
-21.
Encontramos
A
= -
2,
B
=
- 3
y
por lo tanto
La solución general de
(4.59 )
es entonces
(4.60 )
(4.61)
