4.7. Método de Coeficientes Indeterminados:
Operador
Anulador
159
puede escribirse en la forma
anDny
+
an_I Dn- ly
+ ... +
a,Dy
+
aoY
=
g(x)
o bien
(4.5 1)
La expresión
(4.52)
se llama Operador Diferencial de Orden n . Nótese que
P(D)
es un polinomio en el
símbolo
D
y
que es posible expresar la ecuación (4.51) en la forma compacta
P(D)y
=
g(x).
Si los coeficientes
ao,
a" ... ,
a n
en (4.52) son números reales, entonces
P(D)
tiene las
siguientes propiedades.
1.
P (D )
se puede factorizar como un producto de operadores diferenciales de orden 1
y
operadores diferenciales de orden 2 que son irreducibles, con coeficientes reales.
2. Los factores de
P(D)
pueden conmutarse.
3. P(D)(f
+
g)
=
P(D)f
+
P(D)g,
para cualesquier funciones
f
y
9
que sean al menos
n
veces derivables.
EJEMPLO
1.
Factorice si es posible.
a)
P(D)
=
D 2
+
5D
+
6
b)
P(D)
=
D 2 + D +
1
c)
P(D)
=
D
3
+
4D 2
+
3D
d)
P(D)
=
D
3
+
4D
e)
P(D)
=
D'
-
8D 2
+
16
Solución.
a)
P(D)
=
(D
+
2) (D
+
3).
b) Es un operador cuadrático irreducible.
c)
P(D)
=
D(D 2
+
4D
+
3)
=
D(D
+
l )(D
+
3).
d)
P(D)
=
D(D 2
+
4).
e)
P(D)
=
(D 2
-
4)2
=
[( D
+
2)(D
-
2)]2
=
(D
+
2)2(D
-
2]2.
Definición 4.7.1
Sea y
=
f (x) una funci ón que tiene al menos n derivadas. Si
entonces decimos que el operador diferencial P(D)
=
anDn
+
an_IDn-l
+ ... +
a,D
+
ao
anula a
f.
1...,151,152,153,154,155,156,157,158,159,160 162,163,164,165,166,167,168,169,170,171,...252