166
Capit ulo
4.
Ecuaciones Diferenciales Lin eales
de
Segundo Orden
La solución general de
(4.62 )
es
5
4
V
=
eX(c¡
cos V2x
+
c2sen V2x)
+
e- X
(41
cosx -
41
sen
x).
EJEMPLO
4. Resuelve
V"
+
3V'
- lOy
=
x(e 2X
+
1).
(4.65 )
Soluc ión. Escribimos la ecuación d iferencial como
(D 2
+
3D
-
lO)V
=
x(e 2x
+
1)
o bien
(D
+
5)(D
-
2)V
=
x(e 2x
+
1).
(4.66)
Se ve que
Yc( x)
=
el e-
5x
+
C2e2x,
Ahora bien, sabemos que
D 2x
=
0,
(D
-
2)2(xe 2x )
=
O. Por consiguiente el operador
anulador de la función
g(x)
=
x(e 2x
+
1)
=
xe 2x
+
x,
es
P¡ (D )
=
D 2(D
-
2)2
Aplicando
p ¡
(D)
a ambos miembros de
(4.66)
se obtiene
(467)
La ecuación característica de (4.67) es
,.2(r
+
5)(r
-
2)3
=
°
y sus raíces son 0, - 5 Y
2
de
multiplicidades dos, uno
y
tres, respectivamente. Luego
V
=
k¡
+
k 2x
+
k3e -sx
+
(k
4
+
ksx
+
k6x2)e2x.
Excluyendo en esta expres ión la combinación linea l de términos correspondientes a
Ve,
se
llega a la forma de
VP
Se tiene que
B
+
(e
+
2Ex)e 2X
+
2(ex
+
E x 2 )e 2X ,
,
Vp
V~
=
2Ee 2x
+
4(
e
+
2Ex )e 2x
+
4(
ex
+
Ex 2 )e 2X .
SustitHendo en
(4.65)
Y simplificando , resulta
(- lOA
+
3B)
-
lOBx
+
(7e
+
2E )e 2x
+
14Exe 2x
=
xe 2x
+
x.
Esto i¡.¡plica que
- 10A + 3B
=
0,
- lOB
1,
7e
+
2E
0,
14E
1.
1...,158,159,160,161,162,163,164,165,166,167 169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,...252