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4.8. Método de
Variación
de Parámetros
175
EJEMPLO
1.
Resolver
y"
-
2y'
+
2y
=
eX secx.
(4.86)
Solución. Deteminamos primero la solución general de la ecuación homogénea asociada
a (4.86), a saber
y"
-
2y'
+
2y
=
O.
(4.87)
La ecuación característica de (4.87) es
r
2
-
2r
+
2
=
O,
y
sus raíces son
r¡
= 1 +
i
Y
r2
= 1 -
i.
En consecuencia
y,
=
eX(c¡ cosx
+ c2senx).
Denotemos por
y¡ =eXcosx,
Y2
=
eXsen
x.
Luego
w
_1
eX
cos
x
eXsen
x
(y¡,Y2) - (cosx -sen x)e
X
(cosx+sen x)eX
Buscamos una solución particular de (4.86) de la forma
YP
=
U¡y¡
+
U2Y2,
donde las
funciones
U¡
y
U2
se calculan utilizando las ecuaciones (4.85 ). Se tiene que
J
(eXsen x)(e"secx)
J
u¡(x)=-
e 2x
dx =-
tan xdx = ln lcosxl,
y
( ) -
J (eXcosx)(exsecx)
-
J d -
U2
x
-
-
x-x.
e 2x
Luego
YP
=
(In
I
cosxl)(e X cosx)
+
xexsen x
y
por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea (4.86) est.á
dada por
y
y,
+
YP
= eX(c¡cosx
+C2sen x) + (In
I
cosxl)(e
X
cos
x) +xexsen x.
EJEMPLO
2 .
Resolver
-2x
11
I
e
y
+
4y
+
4y
=
-2 '
X
Solución . Puesto que la ecuación característica es
x>
o.
r
2
+
4r
+ 4 =
(r·
+
2)'
= O,
(4.88)
