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184 Capítulo 5. A plicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
Tomando en cuenta las expresiones (5 .8), junto con el hecho de que el rango de la
7r 7r
función ¡(x) = arctanx es el intervalo (-2' 2)' concluimos que el valor de q, puede
calcularse simplemente como sigue
q, -
{
arctan u
e,
arctan ~ + 7r
e,
si C2 > O,
(5.9)
si C2 < O.
EJEMPLO 3. Reescriba la solución (5.5) del ejemplo 2 en la forma alternativa (5.6) y
determine el primer valor de t para el cual la masa pasa por la posición de equilibrio en
dirección hacia abajo.
Solución. En el ejemplo 2
1 1
x(t) = 4' cos 8t + 24 sen 8t,
de modo que, usando (5. 7)
A = ( ~)2 (~)2 = v'37
4 + 24 24
Además C2 = 1/ 24 > O, por lo cual de (5.9), se sigue que
1/ 4
q, = aretan 1/ 24 = arctan 6 = 1.4056 rad.
Por consiguiente
v'37
x(t) = 24 sen (8t + 1.4056).
Los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, están deter–
minados por la condición
x(t ) = O,
es decir
sen (8t + 1.4056) = O.
Las soluciones de esta ecuación vienen dadas por
8t + 1.4056 = n7r,
con n un número entero. Despejando t y recordando que representa una cantidad positiva
(el tiempo), obtenemos la sucesión de valores
n7r
tn = 8 - 0.1757, n = 1, 2, 3, ...