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194 Capítulo 5. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
,
",
o. ,
G.2 0. 4 0. 6 0.1 1.2
Figura 5.8: Solución del ejemplo 1
Por consiguiente
4 1
x(t) = _e- 4t - _e- 16 '. (5.24)
9 9
La gráfica de la solución (5.24) se da en la figura 5.8. Como se observa no ocurren
oscilaciones ya que el peso tiene tanto amortiguamiento que sólo retorna gradualmente a
la posición de equilibrio sin pasar por esta. Se trata de un movimiento sobreamort iguado.
EJEMPLO 2. Resuelva nuevamente el ejemplo 1, suponiendo ahora que f3 = 2.
Solución. En este caso la ecuación diferencial del movimiento es
4 ePx dx
-- = -8x-2-
32 dt 2 dt
o bien
d 2x dx
dt 2 + 16 dt + 64x = o. (5.25)
La ecuación característica de (5.25) es r 2+ 16r + 64 = O, cuyas raíces son rl = r2 = -8,
por lo cual
x(t) = cle- Bt + C2te-Bt.
Las condiciones iniciales x(O) = 1/ 3, x'(O) = Oconducen al sistema de ecuaciones lineales
1
CI = 3 '
-8cI + C2 = O.
Por consiguiente
x(t) = ~ e-Bt + ~te-Bt = ~ e-Bt(l + 8t).
3 3 3
(5.26)
La gráfica de la solución (5.26) se muestra con línea continua en la figura 5.9, donde
con línea interrumpida aparece también la solución del ejemplo 1, a fin de hacer una