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Capítulo
5.
Aplicaciones
de
las
Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Segundo Orden
En este caso, las únicas fuerzas que actúan son:
• Una fue rza d e restitución ,
ir,
opuesta a la dirección del alargamiento y pro–
porcional a su magnitud (Ley de Hooke). En términos simples
ir
=
kd,
donde
k
es
una constante de proporcionalidad y
d
la magnitud del alargamiento .
• El peso del cuerpo, dado por
W
=
mg.
Adoptaremos la siguiente convención. Todas las cantidades (desplazamiento, ve–
locidad, aceleración y fuerza) , medidas hacia abajo desde la posición de equilibrio se
considerarán como positivas. Las que se miden hacia arriba, son negativas.
En la posición de equilibrio
mg
-
ks
=
O.
Ahora, al desplazar el cuerpo de esta posición en una magni tud
x
y soltarla, de la Segunda
Ley de Newton se sigue que
mg-k(s +x)
mg
-
ks
-
kx,
y usando la condición de equilibrio, resulta
d?x
m
dt
2
=
- kx.
(5 .1 )
El signo negativo indica que la fuerza de restit ución del resorte actúa en dirección opuesta
a la del movimiento.
Podemos escribir la ecuación (5. 1) en la forma
d
2
x
k
dt
2
+
mX
=
O,
o bien
d?x
2
dt
2
+
w
x
=
O,
(5.2)
donde
w
2
=
klm.
La ecuación (5.2) es la ecuación diferencia! del movimiento armónico simple
o movimiento vibratorio no amortiguado.
Hay dos condiciones iniciales asociadas con (5.2), a saber
x(O)
=
Xo,
x'(O)
=
Vo,
que representan el deplazamiento y velocidad iniciales, respectivamente. Por ejemplo, si
Xo
<
O y
Vo
>
O entonces el movimiento se inicia en un punto que está
Ixol
unidades
arriba de la posición de equilibrio y con una velocidad inicial dirigida hacia abajo. Si
1...,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181 183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,...252