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5.1. Movimiento Armónico Simple l Sl
Xo > OY Vo = O, la masa está inicialmente en reposo a Xo unidades abajo de la posición
de equilibrio.
La ecuación auxiliar de (5.2) es
cuyas raíces son imaginarias puras
rI = wi,
En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial (5.2) es
x(t) = c) coswt + e2 senwt,
donde e) y e2 son constantes que dependen de Xo y vo.
(5.3)
Nótese que independientemente de los valores de e) y e2, la ecuación del movimiento
armónico simple (5.3), define una función periódica de periodo T = 2" /w y describe un
movimiento ideal en el que el cuerpo se mueve alternadamente hacia arriba y hacia abajo
de la posición de equilibrio , infinitas veces.
El periodo T es el tiempo necesario para que se complete un ciclo y su recíproco
t = l / T se llama la frecuencia. El desplazamiento máximo del cuerpo, med ido desde
la posición de equilibrio, se llama la amplitud.
EJEMPLO 1. Se encontró experimentalmente que un peso de 4 lb estira un resorte 6
pulgadas. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida
hacia abajo de 4 pulg/s, determine:
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimieno.
b) La ecuación del movimiento.
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después.
d) El periodo, la frecuencia y la gráfica de la solución.
Solución. Ya que 6 pulgadas equivalen a 1/ 2 ft, de la Ley de Hooke tenemos que
4 = (k) (D '
de donde
Además m = W / g = 4/ 32 = 1/ 8 slug.
k= s!I:
ti
a) Luego, de (5.2), la ecuación diferencial que describe el movimiento es