Página 159 - Coordinación de Servicios de Información
Versión de HTML Básico
4.6. A1étodo
de
Coeficientes Indeterminados: Superposición
157
Por lo tanto la solución general de (4.15 ) es
1
1
3
l
y(x)
=
c¡e-"
+
C,C- 47
+
_e'x
+
-~. ,
-
-.r
-- .
21
8
16
64
EJEMPLO
10. Resolver
y"
-
2y'
-
3y
=
xe 3x
+
sen
x.
(4.48)
Solución. La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial homogénea es ,.' - 2,. - 3
=
O.
cuyas raíces son
7'1
=
3,
T2
=
- 1, por lo cual
Una solución particular de
y"
-
2y'
-
3y
=
.'re
3 ,
(4.49 )
tiene la forma
Yp,
=
J'(AJ'
+
B )e'",
puesto que 3 es una raíz caracter ística simple (ver
Caso
II-( b)). Luego
YP,
(Ax'
+
B x)e'x,
Y~,
3(Ax'
+
Bx)e'x
+
(2Ax
+
B )e'x,
Y"
9(
Ax'
+
B x)e 3x
+
6(2kr
+
B )e'"
+
2Ae"x,
p,
y sustituyendo en (4.49 ) se sigue que
9(Ax'
+
B .1:)e'x
+
6(2Ax
+
B )e 3x
+
2Ae 3x
- 6(Ax'
+
Bx )e 3x
-
2(2Ax
+
B )e""
-
3(Ax'
+
B.r)e"'·
re':!x
4(2A x
+
B )e 3x
+
2Ac Jx
.re Jx
(8Ax
+
2A
+
4B )é"
.re
3
,·
8A.?:
+
2A
+
~B
=
.1'.
de donde
8A
1,
2A
+
4B
=
O.
1
1
Resolviendo el sistema hallamos que
A
=
8'
B
=
- 16 )'
entonces
y
=
( ~ x'
-
~.r)
e
3I
.
p,
8
16
