4.6. Método de Coefi cientes Indeterminados: Superposición
147
Si
coj O
de la primera ecuación determinamos
An
Y
de las restantes los demás coefi–
cientes.
Si c
=
O
pero
b
oJ
O,
el polinomio en el miembro izquierdo de
(4.31 )
es de grado
n
-
1
Y
dicha ecuación no puede satisfacerse. Así que si c
=
O
proponemos
y
procedemos como antes para determinar
A n , A n_¡, ... , Aa.
Nótese además que si c
=
O
una constante es solución de la ecuación diferencial homogénea.
Si tanto
b
=
O
como e
=
O(1 Y
x
son soluciones de la homogénea) , se propone
Yp(x)
=
x2(Anxn
+
An_¡x n -
1
+ ... +
A 2x 2
+
A¡x
+
Aa),
aunque ahora la ecuación diferencia l puede integrarse directamente.
CASO
n.
g(x)
=
e''' Pn (x),
donde
Pn(x)
es un polinomio de grado
n .
Tenemos ahora la euación
d
2
y b dy
ax
()
adx2
+
dx
+
cy
=
e Pn
X .
Son posibles los siguientes subcasos.
a) a
no es una
raíz
de la ecuación auxiliar ar
2
+
br
+
c
=
O.
En este caso, es preciso hallar una solución particular de la forma
(4.32)
En efecto , introduciendo
YP'
y~
y
y~
en
(4.32)
y
dividiendo por
e
ax
se sigue que
aQ~(x )
+
(2aa
+
b)Q~(x)
+
(aa 2
+
ba
+
c)Qn(x)
=
Pn (x).
(4.33 )
Ya que grad
(Qn(x))
=
n,
grad
(Q~(x))
=
n
- 1
Y
grad
(Q~ (x))
=
n
- 2, los
polinomios en ambos miembros de
(4.33)
son de grado
n .
Igua lando los coefi cientes
de las mismas potencias de
x
se obtiene un sistema de
n+
1 ecuaciones que determina
los valores de
Ano A n_¡,
. .. ,
Aa·
b) a es una raíz
simple
de
la
ecuación a uxiliar.
En este caso
aa 2
+
ba
+
c
=
O,
de modo que en lado izquierdo de
(4.33)
se t iene un
polinomio de grado
n
- 1
Y
dicha igualdad no puede satisfacerse sin importar cuales
sean los valores de
Ano An_¡, .
. ,
Aa.
Debido a esto, ahora buscamos una solución
particular en la forma de un polinomio de grado
n
+
1 sin término independiente
(pués éste se anula durante la derivación) por
e
ax .
Así hacemos
1...,139,140,141,142,143,144,145,146,147,148 150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,...252