156
Ca pít
1IIo
4. Ecuaciones
Diferenciales Linea.les
de
Segundo Orden
Solución, Cla ramente la so lución general de la ecuación homogénea es
Una
solllción
particular de
j
i('II P
la.
forIlla
y"
+
6y'
+
8y
=
3e
57
,
A
5:1: –
YPl
=
e .
Derivando y sustit.uyendo en (4.46) se obt iene
25AC>"
+
30Aé '
+
8A e
5x
3e"x
I
d,' donde
A
=
21
.Y
entonces
63Aé
x
3e"x,
1
5"
YP'
=
2l
e "
POr otra parte, una SoluCIón part icular de
y"
+ 6y' +8y
=
x2 - 1,
es de la forma
YP'
=
A X2
+
B x
+
e,
que a l derivar
y
sustit uir en (4.47) nos conduce a
2A
+
6(2Ax
+
B)
+
8( Ax 2
+
B x
+
e)
=
X2
-
1
8AI
2
+
(12A
+
8B )x
+
(2 A
+
6B
+
8e)
=
X2
-
1.
Igua lando los coefi cientes de las respectivas potencias de
x
se sigue
por lo cua l ha llamos que
y
8A
1,
12A +8B
0,
2A + 6B +8e
- 1,
3
B=--
16 '
1
e=--
64
(4.46)
(4.47)
Por el principio de superposición, una solución particular de (4.45) es
yp
=
YP,
+
YP"
es
decir
1
5x 1 2 3
1
Y
(x)
=
-e
+
-x
-
-x
- -,
p
21
8
16
64
1...,148,149,150,151,152,153,154,155,156,157 159,160,161,162,163,164,165,166,167,168,...252