4. 6. Método
de
Coefi cientes Indeterminados: Superposición
y ahora proponemos una solución particular de la forma
yP
=
x( A cos 5x
+
B sen 5x),
como se estableció en el caso I1I-(b .! ). Se tiene que
y~
x(- 5A
sen
5x
+
5B cos5x)
+
(A
cos
5x
+
B sen 5x),
y;
x( - 25A
cos
5x
-
25B
sen
5x)
+
(-5 A
sen
5x
+
5B cos
5x) +
(- 5A sen5x
+
5B cos5x)
=
x( -25A cos 5x
-
25B sen 5x)
+
2(-5 A sen 5x
+
5B cos5x).
Sustit uyendo en (4.44) resulta
x( - 25A
cos
5x
-
25B
sen
5x)
+
2(
-5A
sen
5x
+
5B cos
5x)+
25 (A cos 5x
+
B sen 5x)
IO sen 5.r
- lOA
sen
5x
+
IOB cos
5x
=
10 sen
5.r.
Por consiguiente
A
=
- 1,
B
=
0,
YP
=
-x cos5x
y la solución general de (4.44 ) es
y(x)
=
c,
cos5x
+
c2sen 5x -
xcos5r.
155
A continuación enunciaremos una propiedad de las ecuaciones diferenciales linea les
que nos permitirá resolver ecuaciones no homogéneas, cuyo lado derecho es más general.
Teorema
4.6.1
(Principio de Superposición .) Si
YP'
es
una solución pa rtlc1l lar' de
de la ecuación dif eren cial
y"
+
p(x)y'
+
q(x)y
=
9,(X),
y
YP'
es una solución particular de la ecuación
y"
+
p(x)y'
+
q(x)y
=
92(X) ,
enton ces
YP'
+
y", es una solución particular de la ecuación
y"
+
p(x)y'
+
q(x)y
=
9'(X)
+
92(r).
EJEMPLO
9. Resolver
y"
+
6y'
+
8y
=
3e'x
+
X2
-
1.
(4.45 )
1...,147,148,149,150,151,152,153,154,155,156 158,159,160,161,162,163,164,165,166,167,...252