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l52
Ca pít ulo
4.
Ecuaciones Diferenciales Lillea les
dr
Segundo
Orden
Por
cOIlsiguiellte
<ir dondr
Así
.\' la solució n genera l de
( ~.40 )
rs
3A
=
1
3A
+
313
0,
A = ~
3 '
1
13 =--
3
( )
' l'
(J3 J3)
1 (
) ,.
y.h
=
e-o
-
CI COS
2x
+
c.,
sen
21'
+ :3
1" -
1
e .
EJEMPLO
5 . Resolver
"
T
Y
-
Y
=
e sen]" .
Soluc ió n. La ecuación a uxi liar de la homogénea es ,.
2 -
1
=
O. Luego
Ahora
propOlle lllOS
V"
=
e'( A
cos
1:
+
E
sen
J' ).
Sí'
t. it'lll' qUl'
Y~
e"
(
- A
senI
+
Ecos.r )
+
e"( A
cOS.L
+
E
sen
x ),
(4.4 1)
Y~
<,'(
- A
cos.r -
E
sen .r)
+
2e' (- A
sen
x
+
E cosx)
+
e' (A cos .r
+
E
sen
:r),
U;;
2c' ( -Asen .r
+
E COSJ')
Sustit.uyendo en
( ~ .4 1 )
hallamos que
de donde
2e X( - A
sen :r
+
E
cosx) -
eX(A
cos :r
+
E
sen
x)
( - A
+
213 ) cos :e
+ (-
2A - E )
sen
x
- A + 2E
=
0,
- 2A
-
E
l.
2
1
La solución del sistema es
A
= -
5'
E
= -
5'
Por lo tanto
sen x ,
