4.7. Método
de
Coeficientes Indeterminados: Operador Anulador
163
o bien
y por lo tanto su solución general es
(4.57)
donde
k" k"
. .. , ks son constantes arbitrarias.
Es posible argumenta r que toda solución de (4.56) es también una solución de (4.55).
Dado que la solución complementaria
y,
=
(C1
+
c,x)e
aparece como parte de la solución
de (4.56 ), los términos restantes en (4.57) deben ser la estructura básica de
YP
(4.58)
Para simplificar la notación hemos reemplazado
k
3 ,
k.
y ks por
A, B
y C respectiva–
mente. Finalmente, calcularemos los valores
A , B y
C de modo que (4.58) sea en efecto
una solución de la ecuación diferencial (4.55).
Tenemos que
,
Y
p
=
"
yp
B +2Cx ,
2C.
Sustituyendo estas expresiones en (4.55 ) resul ta
2C -
2(B
+
2Cx)
+
(A
+
Bx
+
Cx' )
=
x'
+
4x.
Equivalentemente
Cx'
+
(B
-
4C)x
+
A
-
28
+
2C
=
x'
+
4x.
Igualando coeficientes en la última ident idad , se obtiene el sistema de ecuaciones
lineales
A
-
2B
+
2C
O,
B -
4C
4,
C
1.
Resolviendo el sistema, resulta
A
=
14 ,
B
=
8
l'
C
=
1.
En consecuencia
La solución general de (4.55) es
y
=
y,
+
YP ,
o sea
y
=
(C1
+
c,x
le'
+
14
+
8x
+
X2
1...,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164 166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,...252