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I.
DE LA IDEOLOGÍA DE LO SIMPLE A LA DE LO COMPLEJO
LA GEOMETRÍA EMERGENTE DE LAS FORMAS IRREGULARES
Aparecen los monstruos
y
arrecia el pánico
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) primero,
y
Janos Bolyai (1802-1860) después, se enfrentaron
al problema de las curvas no diferenciables, aunque ninguno de los dos presentó formal –
mente sus descubrimientos ante la comunidad matemática. El primero en hacerlo fue Karl
Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) quien, en 1872, presentó una curva imposible de
diferenciar; mientras que hacia fines del siglo
XIX,
Paul Du Bois Reymond (1831-1889) de–
mostró que la fórmula original producía una curva continua compleja no diferenciable y
con propiedades desconcertantes.
36
Alrededor de 1872, Georg Cantor (1845 -1918) presentó
una sucesión de segmentos de recta conocida después como
polvo de Cantor
que reunía
las propiedades de lo que posteriormente se
llamaríanfractales.
37
En 1890 Giuseppe Peano
(1858-1932) sorprendió a todos con la publicación de un artículo titulado
Sur une courbe qui
remplit toute une aire plane;
esta curva, como la de David Hilbert (1862- 1943) descrita en
1891, tiene la notable propiedad de
llenar
el plano, es decir, es una línea que pasa por todos
los puntos del plano y tiene, por consiguiente, una dimensión topológica igual a uno.
3B
En
1906 Niels Fabian Helge von Koch (1815-1897) presenta su
curva de J(och
que, siendo más
que una línea unidimensional, pero menos que un plano bidimensionaJ,39 envolvía un área
finita dentro de un perímetro infinito. En 1915 Waclaw Sierpinski (1882-1969) muestra su
triángulo de Sierpinski,
el cual tiene un perímetro infinito pero con la peculiaridad de que el
área que contiene es igual a cero. 40
Finalmente, y de manera desconcertante, el
tetraedro de Sierpinski
muestra dentro de un
perímetro infinito un área finita que se mantiene sin cambios durante todo el proceso, pero que
contiene un volumen nulo: es como un delicioso queso gruyere horadado a tal grado que, en
el límite, quedaría como un gran agujero sin queso. Ante tales
monstruosidades
todo mundo
estaba desconcertado: ¿cómo podía un objeto ser parte unidimensional
y
parte bidimensional?,
¿cómo podían otros tener un perímetro infinito que envolvieran áreas nulas, o finitas, o bien,
que envolvieran volúmenes nulos con áreas finitas? "¡Todo se había desquiciado!"41 Por su lado,
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857- 1918), quien abrió el camino para el estudio de los sis–
temas dinámicos,42 permitió con su
exponente
comparar cosas tan disímbolas como las nubes,
36
Cj,
César Mom oy Olivares,
op. cit.,
p. 220; véase asimismo j. Briggs y
F.
D. Peat,
op. cit.,
p. 92.
37
ej,
Área fractal, sysifus,
Intro,
<
>.
38
ej,
Objetos fractales. Autosemejanza,
La curva de Peano,
<
/O1-07.shtm>.
39
C¡,
james Gleick,
op. cit.,
p. 102.
4 0
eJ,
Eliezer Braun,
op. cit.,
p. 110; véase asimismo, Juan Luis Martínez,
La naturaleza de los fracta les
[1]. <
via.org/art/es/what_es l.shtml >.
41
j. Briggs y F. D. Peat,
op. cit.,
p. 92; véase también César Monroy Olivares,
op. cit.,
p. 221.
42 .. [...
J
el signo del exponente de Lyapunov distingue entre las regiones de comportamiento caótico, cuando es negativo,
y
las
d~
comportamiento regular, cuando es positivo. Como dicho exponente indica la 'dilatación' o 'contracción' que sufre el espacio, es
evidente que debe haber un exponente por cada dimensión
y,
en los 'sistemas disipativos' (aquellos en los que parte de la energía es
[27]
