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¿DISEÑAR CON FRACTALES? ¡VAYA UN ABSURDO!
Como su dimensión es fraccionaria: D
=
log(3)
I log(2)
-=
1.5849, su estructura es autosimilar,
es decir que se trata de una curva continua pero no diferenciable (no admite tangentes). ¡Nos
encontramos otra vez frente a un fractal! (véase figura
5) .
n=O
n
=
1
n
=
3
n=4
n
=
5
Figura 5.
El
triángulo de Sierpinski. Cuando el número de iteraciones tiende a infinito, el perímetro tiende a infinito,
pero el área se reduce a cero. Su dimensión fractal es de
-=
1.5849.
Comparado con la curva de Koch, el triángulo de Sierpinski está más cerca del plano que de
la línea, ya que su dimensión es algo mayor que la de la curva de Koch (1.5849
>
1.2618), aunque
ambas son curvas continuas pero no diferenciables. No obstante, si la curva de Koch nos mues–
tra un perímetro infinito que envuelve un área finita, el triángulo de Sierpinski nos muestra un
¡perímetro infinito que no envuelve nada!
Ahora bien, si proyectamos el triángulo de Sierpinski a la tercera dimensión, obtenemos el
te–
traedro de Sierpinski,
donde los triángulos se transforman en tetraedros. Siguiendo un proceso
análogo, podemos recortar del tetraedro original de longitud igual a uno, un tetraedro invertido
de longitud Y2 , uniendo los puntos medios de sus lados (iteración 1). Después de esta operación
tenemos cuatro tetraedros adosados a cada uno de los vértices del tetraedro original, quedando
en la parte central un octaedro 65 (véase figura
6).
Lo curioso es que este objeto tiene una dimensión D
=
2, definitivamente menor que la espe–
rada D
=
3, característica de la tridimensionalidad. El tetraedro de Sierpinski es un cuerpo con
apariencia de sólido, pero que de ninguna manera llena el espacio; se trata de una esponja que
tiene una ¡superficie finita (de hecho se mantiene constante durante todo el proceso) dentro de
un volumen nulo!66
Una variante del tetraedro de Sierpinski es la esponja de Menger; en este caso, la base es un
cubo. Cuando el número de iteraciones tiende a infinito obtenemos un cuerpo con perímetro
infinito, área finita y volumen nulo; su dimensión fractal es DF
=
2.7268. Dentro de tal edificio
ino cabría absolutamente nada!67 (véase figura 7).
65
eJ,
Fractales de Sierpinski, <http: //
ic/practicas/Matematicasl l/asanchezfo
_PAe
l /fractales/web/fracta–
les_sierpinski.htm>.
66
eJ,
James Gleick,
op. cit.,
p.
101;
véase asimismo, Eliezer Braun,
eaos,fractales
y
cosas raras,
XIX.
"El diseño de la estructura
en la ingeniería';
. ilce.edu.mx:3000/biblioteca/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/1S0/htm/sec_7.htm>.
67
Véase <http// local.wasp.uwa.edu.au/- pbourke/fractals/gasketl>.
