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¿DISEÑAR CON FRACTALES? ¡VAYA UN ABSURDO!
n=O
n
=
1
n
=
2
n
=
3
Figura 2. La curva de Koch.
Curva de von J(och
En este caso, Helge von Koch partió de un segmento de recta
poligonal
-PO (íniciador)-
al cual dividió en tres partes iguales
y subsituyó la parte central por dos segmentos que formaron un
triángulo equilátero sobre la parte eliminada para obtener la poli–
gonal
P
1
(generador).
A continuación repitió el proceso con cada
una de las partes resultantes y obtuvo la poligonal
P2.
Repitió esta
operación indefinidamente y obtuvo en cada etapa
k
una poligonal
de longitud (4/3)k. La curva de Koch se define como la curva límite
de la poligonal
P
k
cuando
k
tiende a infinito (véase figura 2). Si
el
iniciador del proceso es un triángulo equilátero y se utiliza como ge-
nerador la curva de Koch, se obtiene la isla de Koch o Copo de Nieve
cuando
n
crece indefinidamente
59
(véase figuras 3 y 4).
n=4
Figura 3,
El
copo de nieve o
Curva de Koch,
A cada iteración, el perímetro crece en un factor de 4/3
=
1.333; cuando
el
número de ite–
raciones tiende a infinito, el perímetro es infinito, pero el área contenida sólo crece 1.6 veces
(8 /5 partes de) su valor inicial. Se trata entonces de ¡un perímetro infinito que envuelve un área
finita! Dado que cada lado del copo de nieve está constituido por cuatro trozos y cada uno de
ellos tiene la tercera parte de la longitud total, su dimensión es D
=
log(4) / log(3)
=
1.2618.
60
Recordemos que la recta tiene una dimensión de
1,
mientras que una curva que pase por todos
los puntos del plano (como la curva de Peano o la curva de Hilbert) tiene una dimensión de 2.
En consecuencia, la curva de Koch es más que una línea, pero menos que un plano.
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Como podemos observar, la curva de Koch tiene un comportamiento similar al polvo de
Ca ntor, con la salvedad de que, si la dimensión del polvo de Cantor se halla entre cero y uno, la
curva de Koch se halla entre uno y dos, además de que se trata de una línea continua pero no
diferenciable. A estas alturas, al abrir grietas en el edificio de la ciencia, la curva de Koch puso
S9
CJ,
Gacetilla matemática,
His~orias,
<
>.
60
Ibid.;
véase también: Benoit Mandelbrot.
Los objetosfraetales,
pp. 42 Y43; Vicente Talanquer,
op.
cit. ,
p.
17; James Gleick,
op.
cit.,
pp. 99 Y100.
61
CJ,
César Monroy O livares,
op.
cit. ,
p. 123.
