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1.
DE LA IDEOLOGÍA DE LO SIMPLE A LA DE LO COMPLEJO
cantidad de veces que queramos a partir de los resultados obtenidos después de cada iteración.
En estas condiciones, el tamaño de
Z2
+
C
permanece finito sin importar el número de iteracio–
nes llevadas a cabo.
128
Este proceso iterativo nos da tres tipos de objetos: puntos fijos, órbitas
periódicas, y puntos que escapan hacia atractores infinitos. Los puntos que quedan dentro del
conjunto (de Julia) se llaman
prisioneros,
mientras que los que tienden al infinito se llaman
es–
capistas.
Tanto los puntos internos como la curva limítrofe, que separa a los puntos prisioneros
de los escapistas, pertenecen al conjunto de Julia (véase figuras 10 y 11).
La estructura de esta frontera, que se repite a cualquier nivel de magnificación, es un fractal,
ya que se trata de una curva con estructura autosimilar (aunque no exacta, o no-lineal), que per–
mite regenerar la curva total a partir de cualquier segmento arbitrariamente elegido. De hecho,
basta aplicar la iteración en un solo punto (el
Zo
=
O,O) para determinar las características del
conjunto de Julia implicado. Ahora bien, los conjuntos de Julia pueden ser
conexos
o
disconexos;
los conexos son formas de una sola pieza, mientras que los disconexos se encuentran desmem–
brados o atomizados, y se les llama conjuntos de Cantor o polvos de Fatou. Dicho en otras
palabras, todos los puntos contenidos dentro de un conjunto o forma conexa son prisioneros,
mientras que los puntos escapistas configuran una forma disconexa .
129
Por otro lado, no hay
dos conjuntos de Julia idénticos
130
ya que para cada valor de la constante c existe un conjunto
de Julia distinto. Esto ya planteaba un problema inusitado: ¿cómo clasificar un número infinito
de formas? Aquí es, precisamente, donde entra en acción la aportación de Mandelbrot.
131
Para
lograrlo, Benoit aprovechó -como mencionamos más arriba- un teorema probado de manera
independiente por Julia y Fatou alrededor de 1919. En concreto, buscando mapear los valores
de la constante c que dan lugar a los conjuntos conexos de Julia con la intención de sistematizar
en un objeto matemático el número infinito de conjuntos de Julia, Mandelbrot se topó con el
conjunto que hoy lleva su nombre.
l32
El conjunto de Mandelbrot
Para empezar, se dice que el conjunto de Mandelbrot es el objeto más complejo de las
matemáticas;133 es infinito porque (es el mapa que) contiene todos los conjuntos de Julia que,
también, son infinitos. De hecho, c.ida punto seleccionado es un universo que contiene, a su
vez, una infinidad de universos.
m
En particular, para describir estos objetos, los conceptos de
la geometría euclidiana y su lógica binaria aristotélica se quedan cortos; las palabras no bastan
o, más bien, confunden.
135
128
¡bid.,
p. 33; véase asimismo J. Briggs y
F.
D. Peat,
op.
cit..
pp. 96 Y97.
129
ej.
Vicente Talanquer,
op. cit.,
pp. 34 Y37-38.
130
ej.
César Monroy O livares,
op. cit,
pp. 233 Y234.
131
ej,
Vicente Talanquer.
op.
cit.,
p. 37; véase también <
132
¡bid.,
p. 38; véase asimismo César Monroy Olivares,
op.
cit.,
pp. 216 Y221.
133
Cf.
James Gleick,
op. cit.,
p. 22 1.
134
ej,
César Monroy Olivares.
op.
cit.,
pp. 256, 228 Y234.
135
ej,
James Gleick,
op.
cit.,
p. 22 1.
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