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CAPíTULO 3
OPERACIONES VECTORIALES
3.1. Introducción
El álgeb ra vectorial se basa en:
•
Una relación de igualdad de vectores.
•
Una operación de suma vectoriaL
•
Una operación de producto de un vector
y
un
número reaL
En términos de la suma
y
el producto se definen
también las operaciones de resta o diferencia vectorial
y
división de un vector por un número real.
Podemos manipular algebraicamente un vecto r
ya sea a través de su magnitud
y
dirección o bien a
través de sus componentes. Sin embargo las
operaciones vectoriales, que introduciremos en este
capítulo, toman su forma más simple cuando se
expresan en términos de las componentes de los
vectores. De acuerdo con cHo, trabajaremos con esta
definición de vector, equivalente a la ya dada:
(17)
Un
vector
es una pareja o rdenada de
números reales denominados las
componeutes
del
vector.
Nota. Como ya hemos visto, dado un vector
A
=
(Ax,
Ay),
su magnitud
y
dirección se calculan
de
8: atan2(A x,
Ay)
Las definiciones de suma vectorial
y
producto
de vector por número real que daremos generan un
álgebra vectorial que tiene muchas similitudes con el
álgebra de los números reales. Debemos tener
presente, sin embargo, que no está deiinido el
producto de dos vectores (algo como AB) ni la
A
d ivisión de vectores (algo como -).
B
3.2. Relación de igualdad de vectores
Sabemos que dos vecto res son iguales si tienen
la misma magnitud
y
dirección. Equivalentemente
tenemos que dos vectores son iguales si tienen las
mismas componentes:
(18)
Dos vectores,
A :
(A
x'
Ay)
YB :
(B
x ,
By),
son
iguales
si
y
sólo si
y
Para indicar que dos vectores A
y
B son iguales se
usa el signo de igualdad
" ="
en la fo rma
Nota. Es importante observar que, si bien el signo de
igualdad
vectorial,
"=.",
es el mismo signo usado para
la igualdad de números reales (" 3
=
6/2 "), los signifi–
cados son distintos. Como vemos en e l cuadro (18),
una igualdad vectorial como
(A
x'
Ay) : (B
x ,
By)
equivale a
dos
igualdades entre números reales, que
son las igua ldades
Ax
=
Bx Y
Ay
=
By.
Por otra parte, en las representaciones
analíticas de los vectores, que escribimos en la forma
A : (A
L
e) y
A : (A
x ,
Ay), hemos venido usando el
signo de igualdad con una función que no es
propiamente indicar una relación de igualdad
vectorial. Tal signo indicaba en estos casos meramente
una relación de equivalencia entre las notaciones "A"
y
"(A
L
e)"
o
"(A
x ,
Ay)".
Mas adelante introduciremos expresiones
vectoriales como sería por ejemplo esta:
A +3 B + C:-2 D
Si se tiene que B
=
(Bx,
By),
entonces es válido escribir
la expresión anterior en la forma
A
+
3
(B
x '
By)
+
C : -2 D
Análogamente podríamos sustituir en esta ecuación
los símbolos vecto riales A,
e y ·D
por sus represen–
taciones por componentes, o viceversa.
En la última expresión estamos mezclando dos
notaciones: la
notación simbólica,
en la que un vector
se denota con una literal en negrita
(A ,
e ,
D),
y
la
1...,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35 37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,...234