Trazando las fiechas correspondientes vemos
que la flecha
3a
tiene la misma dirección que la flecha
a,
pero es 3 veces más larga que ésta. Por otra parte, la
flecha
(~2)a
es 2 veces más larga que a
y
tiene
dirección opuesta a ésta.
La interpretación geométrica del producto es
pues la siguiente:
(30)
La longitud del vector producto Aa es lA
I
veces la de a.
Si A
>
1
la longitud de
Aa
es mayor que la
de
a.
Si A
<
1, la longitud de
Aa
es menor que la
de a.
Si
i\
>
0, el vector Aa tiene la
misma
dirección que a,
y
si A
<
0, Aa tiene la dirección
opuesta
a la de a.
AA
).>
1
AA
./
o
<
~
<
1
Fig.53
Las propiedades anteriores son evidentes al
examinar la expresión para la magnitud del vector
general
i\
A. En primer lugar tenemos que
o sea
(31)
La magnitud del vector AA es el producto
del valor absoluto de A
y
de la magnitud de A:
IAAI=IAIA
Por otra parte tenemos que si A
:>
0,
atan2(A x, Ay)
~
atan2(- A A x, - A
A y)
±
180
0
la cual expresa que los vectores A
y
~
AA tienen
direcciones opuestas.
Abundan en la física los casos en que un vector
se obtiene como el producto de un número
y
otro
vector. Demos unos ejemplos.
1-31
~jemp]o
20.1
La expresión matemática de la segunda
ley
de Newton tiene la forma
(Fuerza'" Masa
x
Aceleración)
donde
F
es el vector fuerza, m es la masa
y
a es el
vector aceleración.
Supongamos que
m~5kg
m
m
y
que a
~
(-
2 2", 7 2")
s
s
Entonces el vector fuerza viene dado por
m
m
F "m a "5kg-
(- 2 -,7-)
52
s2
=(
-10 kg
s~
,35 kg
s~)
m
El producto de unidades "kg-y" se abrevia "N"
y
se
s
denomina
"newton",
así que podemos escribir la
fuerza tambien en la forma
F"(- ION,35N)
Es importante observar que los símbolos de las
unidades se manejan como símbolos algebraicos. De
acuerdo con la regla (28a)-p30, la expresión anterior
para la fuerza F podemos escribirla también como
F
~
(- 10,
35) N
Análogamente podríamos haber escrito
a
=( - 2,7)
~
s
De dcuerdo con (30) }' dado que la masa "m" siempre
es positiva, los vectores fuerza
y
aceleración tienen la
misma dirección en todo momento.
~jemplo
21.1 El
momento lineal
o
ímpetu
de una
partícula de masa
¡¡
m
¡¡
que se mueve con velocidad
" v ", es un vector denotado con·" p
n,
definido como
el producto de la masa
y
el vector velocidad:
1...,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43 45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,...234