]·38
A
porque la división de vectores (algo como - ) no está
S
definida (como tampoco la multiplicación de vectores,
algo como A B). La cosa se hace como en el siguiente
ejemplo.
~ j emplo
28.1
Calcular el factor numérico X de la
ecuación
]
2a - -
b+ x c~(-3,65)
2
donde a
~
(-
5, 3), b
~
(4,
- 10)
Y
c
~
(1, 6).
Despejemos el término XC
y
sustituyamos a, b
y
e por sus representaciones por
compo nentc~:
]
X
c
~
( -
3,
65) - 2 a
+
'2
b
1
X(1, 6)
~
(- 3,65) - 2 (- 5,6)
+ -
(4, - 10)
2
Hagamos las operaciones indicadas:
(x,
6 X)
~
(- 3, 65)
+
(10, -
6)
+
(2, - 5)
(x, 6 X)
~
(-3 +
10
+2,
65-6-5)
~
(9, 54)
de donde, igualando componentes X
y
Y de
(x, 6X)
y
(9, 54),
X~9
y
6 X
~54
Ambas
dan X"" 9. Si dieran valo res distintos no existiría
LU1
número
X
que
satisfiderd la ecuación dada, la cual
sería inválida.
3.11, Independencia linea l de vectores
Las operaciones básicas de suma vectorial
y
producto de un vector por un número real nos
permiten relacionar cualquie r vector A del plano con
otros dos vectores dados B
y
C.
Para investigar este
asunto introduciremos unos términos:
(40)
Genera r
Wl
vector
A
a partir de otros dos
vec tore~
B
y
C significa encontrar números A
y
tt
tales que
A =A S+pC
En otras palabras significa, de acuerdo con (39),
escribir
A
como una combinación lineal de
B
y
C.
No cualquier pareja {B,
e l
permite genera r
cualquier vecto r. Así tenemos que si B
y
C son
paralelos o antipara lelos (direcciones iguales o que
difieren en ±180°,
respectivamente), entonces
cualquier combinación lineal de la forma "A B
+
tt
C"
produce un vector que es paralelo o antiparalelo a B o
a C. La Fig. 57 muestra un ejemplo numérico: los
vectores S (de magnitud 2)
y
C (de magnitud 1) son
an tiparalelos. La combinación lineal 5B
+
6C produce
un vector de magnitud 4 que es paralelo a B.
Fig.57
Cualquier vec tor que sea paralelo (o antiparalelo) a B
o a
e
puede escribirse en cualqu iera de las fo rmas
A S pC
ó
donde A,
~ ,
X Y \' son números apropiados que
siempre podremos calcular.
Ahora bien, si B y
e
no son paralelos
ni
antiparalelos, ya podemos generar a partir de cUos
cualquier otro vector del plano.
(41)
TeoremCl .
Todos los vectores del plano se pueden
generar a partir de dos vec tores cualesquiera
(excepto si estos son paralelos o antiparalelos),
mediante las operaciones básicas de suma
vectorial y producto por un número real.
Sean B y C vectores dados, no paralelos ni
antiparalelos. Entonces el teorema afirma que
para cualquier vector A ex isten números A
y
)...l
tales que
La interpretación gráfica del teo rema es simple.
Consideremos tres vectores arbitrarios A, B Y
e
y
tracémoslos a partir del mismo punto, como los
mostrados en la Fig. 58. Supongamos que queremos
expresar A como una combinación lineal de B
y
C.
Desde la punta de A tracemos una linea
paralela a B
y
otra línea paralela a
C.
De esta manera
formamos un paralelogramo a Iya diagonal es A. Los
1...,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,...234